Теоретический анализ основных математических понятий

Таким образом, получаем второе определение частного:

Определение. Частным целого неотрицательного числа а и натурального числа b называется такое целое неотрицательное число с = а:b, произведение которого и числа b равно а.

Можно показать и наличие обратной связи, т. е. что из второго определения частного вытекает первое:

а:b = с а = с·b

Итак, во втором случае частное определено через произведение. Поэтому говорят, что деление есть действие, обратное умножению.

Всегда ли существует частное натуральных чисел a и b? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и b, необходимо, чтобы bа.

Доказательство. Пусть частное натуральных чисел a и b существует, т. е. существует такое натуральное число с, что а = с·b. Для любого натурального числа с справедливо утверждение 1с. Умножим обе части этого неравенства на натуральное число b, получим b c·b. Поскольку с·b = а, то b а. Теорема доказана.

Чему равно частное а = 0 и натурального числа b? По определению это такое число а, которое удовлетворяет условию с·b = 0. Так как b ≠ 0, то равенство c·b = 0 будет выполняться при с = 0. Следовательно, 0:b = 0, если bN.

Теорема. Если частное натуральных чисел а и b существует, то оно единственно.

Рассмотрим теперь вопрос о невозможности деления целого неотрицательного числа на нуль.

Пусть даны числа а ≠ 0 и b = 0. Предположим, что частное чисел а и b существует. Тогда по определению частного существует такое целое неотрицательное число с, что а = с·0, отсюда а = 0. Пришли к противоречию с условием. Следовательно, частное чисел а ≠ 0 и b = 0 не существует.

Если a = 0 и b = 0, то из предложения, что частное таких чисел а и b существует, следует равенство 0 = с·0, истинное при любых значениях с, т. е. частным чисел а = 0 и b = 0 может быть любое число. Поэтому в математике считают, что деление нуля на нуль также невозможно.

В начальном курсе математики первоначальные представления о делении формируются на основе практических упражнений, связанных с разбиением, множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, но без введения соответствующей терминологии и символики. Главным средством раскрытия этого понятия деления является решение простых задач.

Определение деления как действия, обратного умножению, в явном виде не дается. Взаимосвязь деления и умножения устанавливается при изучении темы «Нахождение неизвестного множителя», где, по существу, происходит обобщение двух смыслов частного, имеющих место при его теоретико-множественной трактовке [20,147-149].

Читайте также:

Сущность обучения разговорной диалогической эвенской речи учащихся начальных классов
Чтобы решить вопросы привития учащихся начальных классов хотя бы элементарных навыков повседневного общения на эвенском языке, нужно знать, какие же особенности отличают разговорную диалогическую речь от литературно обработанной, нормированной книжной речи. Обучение диалогической речи, кроме усвоен ...

Педагогические идеи В.А. Сухомлинского
“Глубоко уважая науку и ученых, я всегда считал себя только практиком, народным учителем”, - писал В. А. Сухомлинский. Эту мысль он сформулировал за несколько лет до смерти, когда уже пользовался репутацией одного из ведущих деятелей советской педагогики. "Многолетний опыт дает мне право утвер ...

Уровни изучения и уровни усвоения учебного материала
Уровень изучения учебного материала зависит от значимости его в дальнейшей практической деятельности по профессии. В ГОС по профессии включены три уровня: ознакомительный (узнавание); репродуктивный (воспроизведение по памяти); умений (применение, действие по образцу). Отечественный исследователь в ...