Теоретический анализ основных математических понятий

Переместительное свойство умножения в начальных классах формулируется так: «От перестановки множителей произведение не изменится». Данное свойство широко используется при составлении таблицы умножения однозначных чисел [18,142-144].

Рассмотрим задачу, которую решают младшие школьники, приступая к изучению действия деления: «8 апельсинов разложили на тарелки, по 2 апельсина на каждую. Сколько раз по 2 апельсина положили? Сколько тарелок потребовалось?

Ответ на вопрос задачи находится при помощи деления: 8:2=4.

Проанализируем решение этой задачи. В задаче рассматривалось множество, в котором 8 элементов. Оно разбивается на подмножества, в каждом из которых по 2 элемента, т. е. на равномощные подмножества (рис.1). Кроме того, они попарно не передаются. В задаче спрашивается, сколько таких подмножеств получилось. Таким образом, число 4, полученное в ответе, – это число двухэлементных подмножеств, на которые разбито множество из 8 элементов.

Обратимся теперь к другой задаче: «12 карандашей раздали 3 ученикам поровну. Сколько карандашей получил каждый?»

Она также решается делением: 12:3=4 (карандаша). Но число 4 здесь выступает в другом смысле – как число элементов в каждом из трех равномощных непересекающихся подмножеств, на которые разбито множество, содержащее 12 элементов (рис.2).

Рис. 1 Рис. 2

Иными словами, деление чисел связано с разбиением конечных множеств на равночисленные попарно непересекающиеся подмножества. При этом решаются две задачи: нахождение числа элементов в каждом подмножестве (деление на части) и нахождение числа таких подмножеств (деление по содержанию) [21,147].

В общем виде частное целого неотрицательного числа а и натурального числа b определяется следующим образом:

Определение. Пусть а=n(А) и множество А разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества.

Если b – число подмножеств в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число элементов каждого подмножества.

Если b – число элементов каждого подмножества в разбиении множества А, то частным чисел а и b называется число подмножеств в этом разбиении [20,274].

Действие, при помощи которого находят частное а:b, называется делением, число а – делимым, b – делителем.

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия деления, мы обращаемся к умножению. Почему? Очевидно, потому, что действия деления и умножения взаимосвязаны. Но какова эта связь?

Пусть а =n (А) и множество А разбито на b попарно непересекающихся равномощных подмножества А1, А2, ., Аb. Тогда с = a:b есть число элементов в каждом таком подмножестве, т. е.

с = a:b = n (A1) = n (A2) = … = n (Ab).

Так как по условию

A=A1 A2 . Аb,

то n(А) = n (A1A2 .Ab).

Но подмножества А1, А2, ., Аb попарно не пересекаются, значит, по определению суммы

n(A1A2 .Ab) = n(A1) + n(A2) +…+ n(Ab) = с + с + . + с.

b слагаемых

Согласно определению произведения сумма b слагаемых, каждое из которых равно c, есть произведение с·b.

Таким образом, установлено, что а = с·b, т. е. частным чисел а и b является такое число с, произведение которого и числа b равно а. К такому же выводу мы придем, если частное с = а:b будет числом подмножеств в разбиении множества А.

Читайте также:

Психолого-педагогический анализ проблемы: возможность использовать в работе с детьми нетрадиционных материалов и технологий «роспись по ткани»
Исследуя психологическую, педагогическую, искусствоведческую, методическую литературу нами было установлено: что во многих источниках достаточно основательно раскрывается технология «росписи по ткани» которую сможет освоит любой взрослый человек. Так, А.В. Загребаева описывает самые распространенны ...

Результаты экспериментальной проверки оптимальной модели обучения учащихся VII-VIII классов в процессе работы на токарно-винторезном станке
Экспериментальной базой квалификационной работы по проверке спроектированной модели процесса обучения учащихся VII-VIII классов работе на токарно-винторезном станке является СОШ № 5 п. Октябрьского Красноармейского района Краснодарского края. В педагогическом эксперименте принимали участие д. п. н. ...

Реализация Национального Проекта «Образование»
Реализация ПНПО в РФ Приоритетный национальный проект "Образование" призван ускорить модернизацию российского образования, результатом которой станет достижение современного качества образования, адекватного меняющимся запросам общества и социально-экономическим условиям. В нацпроекте зал ...