Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
Его корни – числа -2 и 5.
Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель
не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.
Метод, использующий равенство дроби 0.
Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение
(1)
Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по
и разность
в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение
(2)
Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?
Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых
то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение
Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение
, входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.
Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0
Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение
(3)
Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).
Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) — многочлены?
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Заменив в уравнении
(4)
Читайте также:
Сущность профессионально-трудовой ориентации старших учащихся 9-х классов
На сегодняшний день современный рынок труда предъявляет высокие требования к старшим подросткам как будущей рабочей силе, требуя от них не только высокой профессиональной подготовки, но и мобильности, коммуникабельности и высокой стрессоустойчивости в быстро меняющихся экономических условиях. Именн ...
Общая характеристика мультимедиа-технологий
Середина 1990-х гг. ознаменована появлением ряда теоретических работ и учебных пособий, посвященных вопросам применения компьютерных технологий в сфере образования и, в частности, применению средств мультимедиа в рамках образовательного процесса. Наибольшее распространение в литературе получают поп ...
Формирование ЗОЖ через интеграцию учебных дисциплин
Важную роль в формировании здорового образа жизни играет школа. Именно в школьном возрасте закладываются основы здоровья человека и здорового образа жизни, формируется ценностное отношение не только к своему здоровью, но и здоровью других людей. Основная идея ЗОЖ – формирование отношения детей к пр ...