Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
Его корни – числа -2 и 5.
Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При общий знаменатель
не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).
Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.
Метод, использующий равенство дроби 0.
Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение
(1)
Перенесем выражение в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по
и разность
в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение
(2)
Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?
Очевидно, что так как разность тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых
то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение
Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение
, входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.
Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0
Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей в виде отношения двух многочленов, получим уравнение
(3)
Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).
Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида , где f (х) и g (х) — многочлены?
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Заменив в уравнении
(4)
Читайте также:
Отечественный и мировой опыт управления школой
К началу XXI века российское образование в результате реформирования, осуществлявшегося в 1990-е годы, претерпело весьма значительные изменения. Перемены затронули структуру, содержание образования, его организацию. Система российского образования стала более гибко реагировать на потребности госуда ...
Дистанционное обучение. Подходы к решению проблемы
Любые, а тем более коренные, прогрессивные изменения в обществе непременно вызывают потребность совершенствования существующих форм обучения, а также появление совершенно новых форм обучения. Современные экономические условия жизни практически в любой стране на нашей планете характеризуются потребн ...
Личность специалиста по социальной реабилитации детей с ограниченными возможностями
здоровья
Деятельность специалиста, занимающегося социальной реабилитацией, включает в себя две основные характеристики: объективную и субъективную, являющиеся необходимыми предпосылками эффективности его труда. К объективным характеристикам относятся знания и умения, которыми он обладает, а также результаты ...