Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Предпосылки девиации в подростковом возрасте
Переходный период, как лакмусовая бумага, проявляет все пороки общества. Подростковый возраст – самый трудный и сложный из всех детских возрастов. Его еще называют переходным возрастом, потому что в течение этого периода происходит своеобразный переход от детства к взрослости, от незрелости к зрело ...

Ловкость как один из видов двигательных способностей
Слово «Ловкость» - есть производная от слова «лов» - ловить. Первоначальное значение слова относится к охоте промыслу, ловле зверя, птицы, рыбы. С течением времени значение слова расширилось и перенесено было на человека, но смысл его мало изменился с тех пор. Ловкость по -прежнему определяется как ...

Сущность понятия «коллективная творческая деятельность»
Понятие деятельности выделяет и определяет специфику общественной жизни людей, которая состоит в том, что они целенаправленно изменяют и преобразуют природную и социальную действительность. Характерная черта общественной жизни людей состоят в том, что она обнаруживает себя только через их деятельно ...