Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Работа с образовательной статистикой единого государственного экзамена по математике
Работа с образовательной статистикой единого государственного экзамена по математике осуществляется с помощью системы управления базы данных. Основные функции СУБД – это описание структуры базы данных, обработка данных и управление данными. Среди разработчиков базы данных (БД) большой популярностью ...

Экспериментальная проверка знаний и умений учащихся
Экспериментальная проверка результатов обучения может быть индивидуальной (работа учащегося у демонстрационного стола, выполнение практической контрольной работы по всем вариантам класса) или фронтальной (практическое занятие по экспериментальному решению задач, когда проверяются не только знания, ...

Творческие занятия младших школьников на уроках
Содержание учебного материала и построения процесса обучения на уроках должны выявлять и целенаправленно развивать задатки и способности детей, вырабатывать качество личности и деятельности, обуславливающее проявление творчества в любом деле. Качество и эффективность обучения и проведение творчески ...