Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение вида равносильно системе

Например, уравнение

равносильно системе

т. е. cистеме

Следует заметить, что при решении системы где

f(х) и g(х) — некоторые многочлены, вовсе не обязательно находить множество значений х, при которых Достаточно, найдя

корни уравнения , проверить, удовлетворяют ли они условию

В учебниках метод решения уравнений вида , где

f(х) и g(х) — целые выражения, разъясняется на примере уравнения

,

равносильного системе

.Учащиеся

не могут найти множество значений х при которых х 3— х — 1200, но этого и не требуется для решения системы. Непосредственная подстановка убеждает их, что из двух корней уравнения х2 — 5х = 0, равных 0 и 5, только первый удовлетворяет условию Значит, рассматриваемая система, а следовательно и уравнение

,

имеет единственное решение — число 0.

При решении уравнения вида r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, можно не сводить его к уравнению r(х) — р(х) = 0, а представить выражения r(х) и р(х) в виде дробей с одинаковыми знаменателями. Если при этом не выполнялись тождественные преобразования, которые могут привести к нарушению равносильности, то получится уравнение вида

,

где т(х), п(х), q(х) — целые выражения, равносильные уравнению r(х) = р(х). Уравнение указанного вида равносильно системе

Равносильность этих предложений можно доказать, опираясь на свойство числовых дробей: дроби с одинаковыми знаменателями равны тогда и только тогда, когда их числители равны, а общий знаменатель отличен от 0 (выражение q(х) имеет смысл при любом значении х).

Читайте также:

Анализ реализованных мероприятий по повышению познавательного интереса младших школьников через использование современных информационных технологий
Для проверки эффективности формирующего этапа эксперимента работы, было проведено контрольное обследование детей экспериментальной и контрольной группы. Методика контрольного обследования совпадала с методикой констатирующего обследования уровня сформированности познавательного интереса у младших ш ...

Экспериментальная проверка знаний и умений учащихся
Экспериментальная проверка результатов обучения может быть индивидуальной (работа учащегося у демонстрационного стола, выполнение практической контрольной работы по всем вариантам класса) или фронтальной (практическое занятие по экспериментальному решению задач, когда проверяются не только знания, ...

История «росписи по ткани»
Ручная художественная роспись тканей - своеобразный вид оформления текстильных изделий уходящий своими корня в глубокую древность. Первые упоминания о получении цветных декоративных эффектов на тканях встречаются уже в «Естественной истории» Плиния. Наибольшей известностью пользуются способы разрис ...