Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

выражение дробью и сократив эту дробь, мы получим уравнение х (х - 2) = 0, (5) не равносильное уравнению (4). Действительно, число 2 удовлетворяет уравнению (5), но не удовлетворяет уравнению (4).

Нарушение равносильности произошло за счет того, что мы выполнили тождественное преобразование, приводящее к выражению с более широкой областью определения: выражение определено при х2, а выражение х (х — 2) — при любом значении х.

Пример 2. В уравнении

(6)

заменим разность числом 0. Получим уравнение

(7)

Уравнение (7) не равносильно уравнению (6), так как существует такое значение переменной х (число 3), которое удовлетворяет уравнению (7), но не удовлетворяет уравнению (6).

Равносильность нарушена в связи с тем, что область определения выражения шире, чем область определения выражения

Если же при замене разности r (х) — р (х) рациональных выражений, хотя бы одно из которых дробное, дробью , где f (х) и g (х) — многочлены, были выполнены только те тождественные преобразования, которые не меняют области определения выражения, то получится уравнение равносильное уравнению r(х) — p(х) = О, а значит, и уравнению r(х) = р(х).

Так для уравнения (4) равносильным является уравнение

.

Для уравнения (6) равносильным является уравнение

т. е. уравнение

Заметим, что в том случае, когда в ходе выполнения тождественных преобразований область определения выражения расширилась, предложением, равносильным уравнению r(х) — р(х) = 0, будет являться система, составленная из уравнения и ограничений, накладываемых на х в связи с изменением области определения. Например, для уравнения (4) равносильным предложением является система

для уравнения (6) — система

Для решения уравнения вида где f(х) и g(х) — некоторые многочлены, используется условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение указанного вида равносильно системе

Читайте также:

Характеристика Всероссийского общества глухих
Всероссийское общество глухих (ВОГ) является общественным объединением граждан Российской Федерации, имеющих нарушения слуха, образованным на добровольных началах на основе Конституции РФ, и строит всю работу на демократических принципах под руководством своих выборных органов.Всероссийское обществ ...

Практическая работа по развитию изобразительной деятельности детей раннего возраста в ДОУ «Малыш»
Цель формирующего этапа эксперимента: повысить уровень развития восприятия детей раннего возраста в предметной деятельности. В основу работы по развитию восприятия детей были положены условия гипотезы и учтены результаты констатирующего этапа эксперимента. На формирующем этапе эксперимента, мы сост ...

Педагогика в системе наук о человеке
Общекультурное и смысложизненное (мировоззренческое) самоопределение личности, а для педагога и профессиональное, предполагает ее ориентацию в глубинных пластах той части культуры человечества, которую составляет педагогика. Она имеет длительную историю, неотделимую от истории человечества. Свое на ...