Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы "Уравнения с переменной в знаменателе"

выражение дробью и сократив эту дробь, мы получим уравнение х (х - 2) = 0, (5) не равносильное уравнению (4). Действительно, число 2 удовлетворяет уравнению (5), но не удовлетворяет уравнению (4).

Нарушение равносильности произошло за счет того, что мы выполнили тождественное преобразование, приводящее к выражению с более широкой областью определения: выражение определено при х2, а выражение х (х — 2) — при любом значении х.

Пример 2. В уравнении

(6)

заменим разность числом 0. Получим уравнение

(7)

Уравнение (7) не равносильно уравнению (6), так как существует такое значение переменной х (число 3), которое удовлетворяет уравнению (7), но не удовлетворяет уравнению (6).

Равносильность нарушена в связи с тем, что область определения выражения шире, чем область определения выражения

Если же при замене разности r (х) — р (х) рациональных выражений, хотя бы одно из которых дробное, дробью , где f (х) и g (х) — многочлены, были выполнены только те тождественные преобразования, которые не меняют области определения выражения, то получится уравнение равносильное уравнению r(х) — p(х) = О, а значит, и уравнению r(х) = р(х).

Так для уравнения (4) равносильным является уравнение

.

Для уравнения (6) равносильным является уравнение

т. е. уравнение

Заметим, что в том случае, когда в ходе выполнения тождественных преобразований область определения выражения расширилась, предложением, равносильным уравнению r(х) — р(х) = 0, будет являться система, составленная из уравнения и ограничений, накладываемых на х в связи с изменением области определения. Например, для уравнения (4) равносильным предложением является система

для уравнения (6) — система

Для решения уравнения вида где f(х) и g(х) — некоторые многочлены, используется условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение указанного вида равносильно системе

Читайте также:

Обследование речи детей по методике Г. А. Волковой
Логопедическое обследование проводится в начале коррекционно-воспитательного воздействия на заикающихся. Такие проявления, как способность заикающихся детей к подражанию, развитие игровой активности, степень сформированности у них общественного поведения, личностные и эмоциональные реакции, могут в ...

Роль и место раздела «Домашняя экономика» в образовательной области «Технология», 8 класс
«Домашней экономика» - изучается в 8 классе (8 часов). Как известно, первоначальные понятия о домашней экономике учащиеся осваивают в семье, школе, окружающей среде, при выполнении проектов. Семья – это общество в миниатюре, она развивается по тем же экономическим законам, что и общество, а, потому ...

Приёмы обучения разговорной диалогической эвенской речи учащихся начальных классов
При обучении эвенскому языку детей особое значения приобретает выбор методических приемов проведение разговорных уроков. Чем разнообразнее интереснее будут приемы, активизирующие изучаемый языковой материал тем легче и лучше овладевают дети эвенским языком. Овладение новым языком представляет собой ...